Il significato geometrico della derivata

Il significato geometrico della derivata

Il significato geometrico della derivata: la derivata prima di f(x) di un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto.

La funzione derivata prima è una funzione che associa ad ogni x (ascissa di punti appartenenti al grafico della funzione di equazione y = f(x) continua) il valore del coefficiente angolare alla curva nel punto di ascissa x.

Come calcolarsi il coefficiente angolare?
Senza fare la dimostrazione, che potete comunque facilmente individuare nel vostro libro di testo, la formula per calcolarsi il coefficiente angolare della retta tangente alla curva di equazione data in un punto di coordinate generiche (x;y) è la seguente:

$lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h = m$

Un semplice esempio:

Data la funzione di partenza $y=x^2$, il problema ci richiede di calcolare il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto x=-1

Alla luce di questo noi utilizziamo la funzione scritta in precedenza:

$lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h = m$

Sostituisco al posto di $x_0$ il valore -1

E otterrò, dopo le opportune sostituzioni:

$lim_(h->0) (f(-1+h)-f(-1))/h$

$lim_(h->0) ((h-1)^2-1)/h$

$lim_(h->0) (h^2-2h+1-1)/h$

Forma indeterminata $0/0$

$lim_(h->0) (h(h-2))/h$

$lim_(h->0) h-2 = 2$

2 è quindi il coefficiente angolare della retta.

A questo punto per calcolarci l'equazione della retta facciamo riferimento ad un'altra formula:

$y = m(x-x_0)+y_0$

Naturalmente $y_0$ lo si ottiene sostituendo, in questa circostanza, -1 nell'equazione della curva

L'equazione finale sarà quindi:

$y=-2x-1$

Esiste anche un'altra formula analoga a quella scritta in precedenza per calcolarsi l'equazione della retta:

$y = f'(x_0)*(x-x_0)+f(x_0)$
 

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