Le discontinuità di una funzione
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- Pubblicato Lunedì, 31 Ottobre 2011 15:47
- Scritto da François Burgay
Diciamo semplicemente che
Una funzione si dice discontinua quando non e' continua
Possiamo raggruppare le discontinuita' in tre gruppi:
- Discontinuita' di prima specie
- Discontinuita' di seconda specie
- Discontinuita' di terza specie
DISCONTINUITA DI PRIMA SPECIE
Figura 1.0
Una discontinuita' si dice di prima specie se esistono finiti i limiti destro e sinistro ma i due limiti sono diversi Esempio: consideriamo la funzione discontinua nel punto 1 (vd. Figura 1.0) cosi' definita:
$y = {(x^2,if x<1),(text{0},if x = 1), (2-(x-1)^2, if x > 1):}$
Attenzione: non e' detto che una funzione debba avere una formula matematica fissa per tutto l'asse reale, io posso definire anche una funzione a pezzi come nell'esempio sopra: l'importante e' che per ogni valore della x corrisponda un solo valore della y.
Figura 2.0
Un esempio classico di funzione con infiniti punti di discontinuita' di prima specie e' la funzione "scala" o parte intera (vd. Figura 2.0):
$y = {(x,if x in Z),(INT(x},if x notin Z):}$
intendendo con int(x) la parte intera del numero x, cioe' il numero x scritto senza decimali.
DISCONTINUITA DI SECONDA SPECIE
Figura 3.0
Una discontinuita' e' di seconda specie se la funzione in un punto vale infinito: ricordiamoci che infinito non e' un punto ben preciso ma una convenzione e quindi quando la funzione vale infinito non e' definita.
Un esempio di discontinuità di seconda specie è la funzione:
y=1/x^2 (Figura 3.0)
Essa presenta una discontinuita' di seconda specie nel punto
DISCONTINUITA DI TERZA SPECIE
Figura 4.0
E' il caso in cui la funzione in un punto
- non esiste
- esiste, ma risulta di valore diverso dal limite
Vediamo i due casi distinti:
Se la funzione in un punto non esiste : la funzione
$y= (x^2-4) / (x-2)$
non esiste nel punto 2 ed il suo limite in tale punto vale 4. Se si attribuisce 4 al valore della funzione in quel punto la discontinuita' e' eliminata.
Se la funzione ha valore diverso dal suo limite: l'esempio classico di questa discontinuita' e' la seguente funzione (Figura 4.0):
$y = {(x^2,if x < 1),(0,if x = 1), (2-x, if x > 1):}$
Bastera' assegnare alla funzione il valore 1 nel punto 1 per eliminare la discontinuita' .
Simile a questa ma piu' famosa e' la funzione in due variabili delta di Kronecker cosi' definita:
$d_(i,j) = {(0,if i != j),(1,if i = j):}$
