Esercizi sul calcolo di funzioni inverse (e proprietà)

Il calcolo di funzioni inverse - Esercizi

Vediamo ora alcuni esempi di calcolo di funzioni inverse: dopo aver controllato che la funzione sia univoca e suriettiva basta scambiare fra loro le x e le y e poi esplicitare la y: piu' avanti dovrai vedere che la funzione sia continua e monotona, ma, per ora, accontentiamoci di esercizi elementari, senza troppe condizioni.

Calcolare, se possibile, le funzioni inverse delle seguenti funzioni:

1) $y=x-5$ Soluzione in fondo alla pagina

2) $y=2x-6$ Soluzione in fondo alla pagina

3) $y=x^2-5$ Soluzione in fondo alla pagina

4) $y=log(x)-2$ Soluzione in fondo alla pagina

IMPORTANTE PROPRIETA'

Facendo la composizione di una funzione con la sua inversa si ottiene sempre la funzione identica y = x.

E' chiamata funzione identica perche' trasforma ogni punto in se' stesso ed, analiticamente, e' la bisettrice del primo e terzo quadrante.

La cosa e' impostante perche' se consideriamo l'operazione di composizioni fra funzioni allora la funzione identica rappresentera' per l'operazione l'elemento neutro e quindi potremo riconoscere una struttura algebrica.

Quindi, per vedere se due funzioni sono l'una inversa dell'altra sara' sufficiente farne la composizione e vedere se come risultato otteniamo la funzione identica

Verificare che le seguenti funzioni sono tra loro inverse

5) $y=x-5$ e $y=x+5$ Soluzione in fondo alla pagina

6) $y=2x-6$ e $y=(x/2)+3$ Soluzione in fondo alla pagina

7)$ y=x^2-5$ e $sqrt(y=x+5)$ Soluzione in fondo alla pagina

8) $y=logx-2$ e$ y=e^x+2$ Soluzione in fondo alla pagina

SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI SOPRA PROPOSTI

1) Calcolare, se possibile, la funzione inversa della seguente funzione:

$y=x-5 $

La funzione y=x-5 e' una retta quindi e' sia iniettiva che suriettiva e di conseguenza e' invertibile

Scambiamo fra loro la x e la y

$x=y-5$;

Esplicito la y

$-y=-x-5$;

Cambio di segno ed ottengo la funzione inversa

$y=x+5$

2) Calcolare, se possibile, la funzione inversa della seguente funzione:

y=2x-6

La funzione y=2x-6 e' una retta quindi e' sia iniettiva che suriettiva e di conseguenza e' invertibile

Scambiamo fra loro la x e la y

$x=2y-6$;

Esplicito la y

$-2y=-x-6$;

Cambio di segno

$2y=x+6$;

Divido ogni termine per 2 ed ottengo la funzione inversa

$(2y)/2=x^2+6/2$;

$y=x^2+3 $

3) Calcolare, se possibile, la funzione inversa della seguente funzione:

$y=x^2-5$

La funzione e' una parabola quindi e' iniettiva ma non suriettiva e di conseguenza per invertirla dobbiamo fare delle restrizioni Possiamo anche dire che e' continua, ma non e' monotona perche' e' in parte crescente ed in parte decrescente: considerando il vertice ed una meta' della parabola la funzione sara' invertibile.

Scambiamo fra loro la x e la y

$x=y^2-5$;

Esplicito la y

$-y^2=-x-5$;

Cambio di segno

$y^2=x+5$;

Estraggo la radice

$y=± sqrt(x+5)$;

Per poterla considerare come funzione inversa considero solamente il radicale positivo equivale a dire che partendo dal vertice considero solo meta' della parabola, a seconda di quale ramo considero prendero' il radicale positivo oppure negativo; se non si specifica altrimenti si considera sempre il radicale positivo

$y=sqrt(x+5)$

4) Calcolare, se possibile, la funzione inversa della seguente funzione:

$y=log(x)-2 $

la funzione y=log(x)-2 ha come dominio l'insieme delle x maggiori di zero e, in tale dominio e' sia iniettiva che suriettiva, e quindi e' invertibile. Puoi anche dire che per x>0 la funzione e' continua e crescente e quindi e' invertibile.

Scambiamo fra loro la x e la y

$x=log(y)-2$ ;

Esplicito la y

$-log(y)=-x-2$ ;

Cambio di segno

$log(y)=x+2$ ;

Applico l'esponenziale per eliminare il logaritmo

$e^(log(y))=e^x+2$ ;

Logaritmo ed esponenziale si elidono

$y=e^x+2 $

Questa e' la funzione inversa limitatamente all'intervallo x>0

5) Chiamando la prima f(x) e la seconda g(x) possiamo procedere in due modi:

1. Calcolo f(g(x))
2. Calcolo g(f(x))

Per esercizio facciamolo in entrambe i modi

* Calcolo f(g(x))
Ho$ f(x)=x-5g(x)=x+5$
sostituisco g(x) al posto della x nella f(x)
$f(g(x))=(x+5)-5$
$y=x+5-5$
$y = x$

* Calcolo g(f(x))
Ho$ f(x)=x-5 g(x)=x+5$
sostituisco f(x) al posto della x nella g(x)
$g(f(x))=(x-5)+5$
$y=x-5+5$
$y=x $

6) Sono tra loro inverse

7) Sono tra loro inverse

8) Sono tra loro inverse

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